练习题
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将以下语句写成对数形式：
a) \(4^4 = 256\)
b) \(3^{-2} = \frac{1}{9}\)
c) \(10^6 = 1000000\)
d) \(11^1 = 11\)
e) \((0.2)^3 = 0.008\)
使用对数的定义：如果 \(a^x = n\)，那么 \(\log_a n = x\)。
将以下语句用幂的形式重写：
a) \(\log_2 16 = 4\)
b) \(\log_5 25 = 2\)
c) \(\log_9 3 = \frac{1}{2}\)
d) \(\log_5 0.2 = -1\)
e) \(\log_{10} 100000 = 5\)
使用指数的定义：如果 \(\log_a n = x\)，那么 \(a^x = n\)。
不使用计算器，求以下对数的值：
a) \(\log_2 8\)
b) \(\log_5 25\)
c) \(\log_{10} 10000000\)
d) \(\log_{12} 12\)
e) \(\log_3 729\)
f) \(\log_{10} \sqrt{10}\)
g) \(\log_4 (0.25)\)
h) \(\log_{0.25} 16\)
利用对数的基本性质：\(\log_a a = 1\)，\(\log_a 1 = 0\)，\(\log_a (a^k) = k\)。
不使用计算器，求满足以下条件的 \(x\) 值：
a) \(\log_5 x = 4\)
b) \(\log_x 81 = 2\)
c) \(\log_7 x = 1\)
d) \(\log_2 (x - 1) = 3\)
e) \(\log_3 (4x + 1) = 4\)
f) \(\log_x (2x) = 2\)
将对数形式转换为指数形式，然后求解未知数。注意底数和真数的取值范围。
使用计算器计算以下对数，保留三位小数：
a) \(\log_9 230\)
b) \(\log_5 33\)
c) \(\log_{10} 1020\)
d) \(\log_e 3\)
使用计算器上的 \(\log\) 按钮计算以10为底的对数，使用 \(\ln\) 按钮计算以e为底的对数。
a) \(\log_4 256 = 4\)
b) \(\log_3 \frac{1}{9} = -2\)
c) \(\log_{10} 1000000 = 6\)
d) \(\log_{11} 11 = 1\)
e) \(\log_{0.2} 0.008 = 3\)
根据对数的定义：如果 \(a^x = n\)，那么 \(\log_a n = x\)。将每个指数形式转换为对应的对数形式。
a) \(2^4 = 16\)
b) \(5^2 = 25\)
c) \(9^{\frac{1}{2}} = 3\)
d) \(5^{-1} = 0.2\)
e) \(10^5 = 100000\)
根据指数的定义：如果 \(\log_a n = x\)，那么 \(a^x = n\)。将每个对数形式转换为对应的指数形式。
a) \(\log_2 8 = 3\)（因为 \(2^3 = 8\)）
b) \(\log_5 25 = 2\)（因为 \(5^2 = 25\)）
c) \(\log_{10} 10000000 = 7\)（因为 \(10^7 = 10000000\)）
d) \(\log_{12} 12 = 1\)（因为 \(12^1 = 12\)）
e) \(\log_3 729 = 6\)（因为 \(3^6 = 729\)）
f) \(\log_{10} \sqrt{10} = \frac{1}{2}\)（因为 \(10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}\)）
g) \(\log_4 (0.25) = -1\)（因为 \(4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25\)）
h) \(\log_{0.25} 16 = -2\)（因为 \((0.25)^{-2} = 4^2 = 16\)）
利用对数的基本性质：\(\log_a a = 1\)，\(\log_a 1 = 0\)，\(\log_a (a^k) = k\)。对于复杂的情况，需要找到合适的指数关系。
a) \(\log_5 x = 4 \Rightarrow x = 5^4 = 625\)
b) \(\log_x 81 = 2 \Rightarrow x^2 = 81 \Rightarrow x = 9\)（因为 \(x > 0\)）
c) \(\log_7 x = 1 \Rightarrow x = 7^1 = 7\)
d) \(\log_2 (x - 1) = 3 \Rightarrow x - 1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9\)
e) \(\log_3 (4x + 1) = 4 \Rightarrow 4x + 1 = 3^4 = 81 \Rightarrow 4x = 80 \Rightarrow x = 20\)
f) \(\log_x (2x) = 2 \Rightarrow x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 2\)（因为 \(x > 0\)）
将对数形式转换为指数形式，然后求解未知数。注意底数和真数的取值范围限制。
a) \(\log_9 230 = 2.477\)
b) \(\log_5 33 = 2.172\)
c) \(\log_{10} 1020 = 3.009\)
d) \(\log_e 3 = 1.099\)
使用计算器上的 \(\log\) 按钮计算以10为底的对数，使用 \(\ln\) 按钮计算以e为底的对数。对于其他底数，可以使用换底公式。